Нахождение угла между прямой и плоскостью

  • Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
  • 0˚<(a,α)<90˚.

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить по формуле или в координатах , где - вектор нормали к плоскости α, - направляющий векор прямой l;

Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ1С).

Решение: Составим уравнение плоскости (АВ1С.):

ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.

Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b= , c=-d. Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит, нормаль n к этой плоскости имеет координаты .

Найдем координаты вектора

Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

.

Ответ:45˚

Leave a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

− 1 = 3