Основные методы интегрирования

Интегральное исчисление функций одной переменной

Первообразная и неопределенный интеграл.

Свойства неопределенного интеграла.

Таблица интегралов

При изучении дифференцирования функций, ставилась задача − по дан­ной функции найти ее производную или дифференциал. Многие вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи − для данной функ­ции f(x) найти такую функцию F(x), производная или дифференциал которой равны соответственно f(x) или f(x)dx.

Определение 1.Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x) на некотором промежутке (a, b), если на этом промежутке фун­к­ция F(x) дифференцируема и удовлетворяет уравнению

F (x) = f(x)

или, что то же самое, соотношению

dF(x) = f(x)dx.

Так, например, функция sin 5x – первообразная на любом промежутке по отношению к функции f (x) = 5cos5x, так как (sin5x)′ = 5cos5x .

Легко проверить, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве. В самом деле, если F(x) – первообразная от функции f(x), то

Ф(x) = F(x) + C,

где С – любая постоянная, также первообразная, так как

Ф ′(х) = (F(x) + C)′ = F ′(x) + 0 = f (x).

На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.

Теорема 1 (о первообразных). Если F(x) − какая-нибудь первообразная от функции f(x) на интервале (a, b), то все ее первообразные имеют вид F(x) + С, где С – произвольная постоянная.

Геометрически y = F(x) + C означает, что гра­фик любой первообразной функции получается из графика функции y = F(x) простым сдвигом его параллельно оси Оу на величину С (см. рисунок). В связи с тем, что одна и та же функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, возникает проб­лема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.

Известно, что производная от пути по времени равна скорости точки: S′(t) = V (t), поэтому, если известен закон изменения скорости V(t), путь движения точки есть первообразная от скорости точки, т. е. S(t) = F(t) + C.

Для нахождения закона изменения пути S(t) нужно использовать началь­ные условия, т. е. знать, чему равен пройденный путь S0 при t = t0. Пусть при t = t0 имеем S = S0. Тогда

S(t0 ) = S0 = F(t0 ) + C. С = S0 – F(t0 ) и S(t) = F(t) + S0 – F(t0 ).

Определение 2.Если F(x) – некоторая первообразная от функции f(x), то выражение F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопреде­ленным интегралом и обозначается

f (x)dx = F(x) + C ,

т. е. неопределенный интеграл от функции f(x) есть множество всех её перво­образных.

При этом функция f(x) называется подынтегральной,а произведение f(x)dx подынтегральным выражением; F(x) – одна из первообразных; х пе­ременная интегрирования.Процесс отыскания первообразной называется

интегрированием.

П р и м е р 1. Найти неопределенные интегралы:

Решение

Теорема 2(существование неопределенного интеграла). Если функция f(х) непрерывна на (a, b) , то существует первообразная, а значит, и интеграл ∫f (x)dx.

Свойства неопределенных интегралов:

1. (∫f (x)dx)′= f (x) , т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. d(∫f (x)dx)= f (x)dx , т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3. ∫dF(x) = F(x) + C .

4. ∫(C1 f1(x) +C2 f2 (x))dx = C1∫f1(x)dx + C2∫f2(x)dx − свойство линей­ности; С1, С2 – постоянные.

5. Если ∫f (x)dx = F(x) + C , то

Первые три свойства вытекают из определения неопределенного интег­рала. Свойств 4 и 5 получаем дифференцированием левых и правых частей уравнений по х, используя свойство 1 интегралов и свойства производных.

П р и м е р 2. Найти неопределенный интеграл: а) ∫(ex +cos5x)dx.

Решение. Используя свойства 4 и 5, находим:

Приведем таблицу основных интегралов, которая в высшей математике играет такую же роль, как таблица умножения в арифметике.

Основные методы интегрирования

Существует три основных метода интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование − вычисление интегралов с по­мощью таблицы интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.

П р и м е р 3. Вычислить интеграл: ∫tg 2 xdx.

Решение:

2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести вычисление данного интеграла к нахож­де­нию табличного. Этот метод еще называют методом замены переменной.

Теорема 3.Пусть функция x = φ(t) определена, непрерывна и диффе­ренцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на нем, т. е. на Т определена сложная функция f(φ(t)). Тогда если ∫f(x)dx = F(x) +C , то

f(x)dx =∫f(φ(t)) φ(t)dt. (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. После вычисления интеграла ∫f(φ(t)) φ(t)dt нужно пе­рей­ти назад к переменной х.

П р и м е р 4. Найти интеграл: ∫cos3x sinxdx.

Решение:

а) Заменим sinxdx на (−d cos x), т. е. внесем функцию cos x под знак диф­ференциала. Получим

3. Метод интегрирования по частям

Теорема 4.Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируе­мы на некотором промежутке Х и пусть u(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т. е. существует интеграл∫u′(x)v(x)dx. Тогда на этом промежут­ке имеет первообразную и функция u(x)v(x) и справедлива формула

u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) −∫v(x)u′(x)dx (2)

или

udv = uv −∫vdu . (2′)

Формулы (2) и (2′) называются формулами интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Методом интегрирования по частям вычисляются интегралы от следую­щих функций: P(x)arcsin(ax), P(x)arccos(ax), P(x)arctg(ax), P(x)arcctg(ax), P(x)ln x, P(x)ekx, P(x)sin kx, P(x)cos kx, здесь P(x) – многочлен; eax cosbx, eax sin bx.

Конечно, эти функции не исчерпывают всех интегралов, которые вычи­сляются с помощью метода интегрирования по частям.

П р и м е р 6. Найти интеграл: ∫arctg3xdx.

Решение. Положим u = arctg3x; dv = dx. Тогда

По формуле (2) имеем

Leave a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

+ 56 = 64