Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Определение. Параллелограмм – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойство 1. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Доказательство. По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона).

Теорема доказана.

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 2. В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Доказательство. Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством
Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством Аналогично, Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Теорема доказана.

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Теорема доказана.

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 4. Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. – вершину – два равнобедренных ?-ка).

Доказательство. Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством
Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Теорема доказана.

Свойство 5. В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Доказательство. Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Теорема доказана.

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 6. Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.

Доказательство. Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Теорема доказана.

Свойство 7. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Доказательство. Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Теорема доказана.

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.

1) Построить произвольный луч DE.

2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.

3) F и G – точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H – точка пересечения окружности с построенным лучом

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.

5) I – точка пересечения окружностей построенного луча.

6) Провести прямую через вершину и I.

IDH – требуемый угол.
( Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством
Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством )

Свойство 1. Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Доказательство. Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством
Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством
Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством
Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством
Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Теорема доказана.

Свойство 2. Биссектриса – ГМТ равноудалённых от прилежащих сторон треугольника.

Свойство 3. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной окружности треугольника. (Из предыдущего свойства)

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 4. Биссектрисы делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей стороне, считая от вершины.

Доказательство. Рассмотрим треугольник CBC1:

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Теорема доказана.

Leave a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

46 − = 44