Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

1) По двум катетам (из I первого признака)

2) По катету и острому углу (из II первого признака)

(так как по противолежащему углу однозначно определяется прилежащий)

3) По гипотенузе и острому углу

Доказательство.

В таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к

ней углам.

Теорема доказана.

4) По гипотенузе и катету

Доказательство.

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых углы C и C1 — прямые, АВ=А1В1, ВС=В1С1.

Так как ∠C=∠C1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина С совместится с вершиной C1, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С1А1 и С1В1. Поскольку СВ=С1В1, то вершина B совместится с вершиной В1.
Но тогда вершины А и А1 также совместятся.

В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А2 луча С1А1, то получим равнобедренный треугольник A1B1A2, в котором углы при основании А1А2 не равны (∠А2 — острый, a ∠А1 тупой как смежный с острым углом B1A1C1). Но это невозможно, поэтому вершины А и А1 совместятся.

Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC и AlBlCl , т. е. они равны.

Теорема доказана.

Leave a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

72 + = 74