Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

1) по двум сторонам и углу между ними

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 угол A равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1. Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1В1, а АС=А1С1, то B совпадёт с В1, а C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

2) Признаки равенства треугольников (доказательство всех) по стороне и прилежащим к ней углам

Доказательство:

ПустьАВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы AB совпало с A1B1. Так как ∠ВАС =∠В1А1С1 и ∠АВС=∠А1В1С1, то луч АС совпадёт с А1С1, а ВС совпадёт с В1С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

3)по трём сторонам

Признаки равенства треугольников (доказательство всех) Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1В1, BC = BlC1 СА=С1А1. Докажем, что ΔАВС =ΔA1B1C1.

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С1С про­ходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.

2) Луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, C1BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1.

3) Луч C1C проходит вне угла А1С1В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1.

Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по
первому признаку равенства треугольников.

Признаки равенства треугольников (доказательство всех) Теорема доказана.

Признаки равенства треугольников (доказательство всех) Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

2. Признаки равенства треугольников (доказательство всех) Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и An провести прямую и к ней параллельные через точки A1 – An-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Признаки равенства треугольников (доказательство всех) Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство. AB=CD

1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB2B1A1 и CD2D1C1. Согласно свойству параллелограмма: AB2 = A1B1 и CD2 = C1D1.

2. ΔABB2=ΔCDD2 ABB2 CDD2 BAB2 DCD2 и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB1 и DD1 прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB2 = CD2 как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A1B1 = AB2 = CD2 = C1D1 Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

Leave a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

78 − = 76